Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

Schritt 1.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{2})$

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ als $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ um.

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$