Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} 2 (x + h) - 2 x}{h}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 (x + h) - lim_{x \to 0} 2 x}{h}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + h - lim_{x \to 0} 2 x}{h}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{2 (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h) - lim_{x \to 0} 2 x}{h}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $h$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{2 (lim_{x \to 0} x + h) - lim_{x \to 0} 2 x}{h}$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 (lim_{x \to 0} x + h) - 2 lim_{x \to 0} x}{h}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 (0 + h) - 2 lim_{x \to 0} x}{h}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 (0 + h) - 2 \cdot 0}{h}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (0 + h) - 2 \cdot 0$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 0$ heraus.

$\frac{2 (0 + h) + 2 (- 0)}{h}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (0 + h) + 2 (- 0)$ heraus.

$\frac{2 (0 + h - 0)}{h}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{2 (0 + h + 0)}{h}$

Schritt 7.1.3

Addiere $0 + h$ und $0$ .

$\frac{2 (0 + h)}{h}$

Schritt 7.1.4

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{2 h}{h}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 h}{h}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$