Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{7}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{7}}]$ als $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{7}$ als ${(x^{3})}^{2} x$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{6} x}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x^{3})}^{2} x}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}]$

Schritt 3.5.2

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$