Analysis Beispiele

$\ln (\tan (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 4

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren von $\cot (x) \sec^{2} (x)$ um.

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 6.2

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Schritt 6.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ mit $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Schritt 6.7

Separiere Brüche.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 6.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 6.9

Separiere Brüche.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Schritt 6.10

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 6.11

Dividiere $1^{2}$ durch $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Schritt 6.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Schritt 6.13

Mutltipliziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$