Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $i$ mit $i^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $i$ mit $i^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Schritt 1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$i^{3} + i$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $11$ mit $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $100$ mit $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $12100$ durch $4$ .

$3025$

Schritt 4

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (10 + 1)$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 4.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Schritt 4.3.1.2.4

Dividiere $5 (10 + 1)$ durch $1$ .

$5 (10 + 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $10$ und $1$ .

$5 \cdot 11$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $11$ .

$55$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$3025 + 55$

Schritt 6

Addiere $3025$ und $55$ .

$3080$