Analysis Beispiele

$\sum_{i = 5}^{13} 3 i + 2$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{13} 3 i + 2 = \sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 - \sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{13} 3 i + 2 = 3 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 2$

Schritt 2.2

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $13$ und $1$ .

$3 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $13$ mit $14$ .

$3 (\frac{182}{2})$

Schritt 2.2.3.3

Dividiere $182$ durch $2$ .

$3 \cdot 91$

Schritt 2.2.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $91$ .

$273$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} 2$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(2) (13)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$26$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$273 + 26$

Schritt 2.5

Addiere $273$ und $26$ .

$299$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} 3 i + 2$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$3 \cdot 1 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + 2 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$5 + 3 \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$5 + 6 + 2 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.4

Addiere $6$ und $2$ .

$5 + 8 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.5

Addiere $5$ und $8$ .

$13 + 3 \cdot 3 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$13 + 9 + 2 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.7

Addiere $9$ und $2$ .

$13 + 11 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.8

Addiere $13$ und $11$ .

$24 + 3 \cdot 4 + 2$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$24 + 12 + 2$

Schritt 3.2.10

Addiere $12$ und $2$ .

$24 + 14$

Schritt 3.2.11

Addiere $24$ und $14$ .

$38$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$299 - 38$

Schritt 5

Subtrahiere $38$ von $299$ .

$261$