Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 1.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.5.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{0 - \cos (x)}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $\cos (x)$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \cos (x)}$

Schritt 4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 5

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (x)$

Schritt 6

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan (x)$

Schritt 7

Wenn sich die $x$ -Werte von links an $\frac{π}{2}$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\infty$

Schritt 8

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (x)$

Schritt 9

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $\frac{π}{2}$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke ab.

$- \infty$

Schritt 10

Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$