Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{8}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\ln (8)}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (8)}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 5.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\ln (8) \sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$0.73519360 \dots$