Analysis Beispiele

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + e^{2 x} |) + C$