Analysis Beispiele

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} + 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{12}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$12 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$12 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 12 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $12$ und $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{12 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{24 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Schritt 8.2.4

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Schritt 8.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} + C$

Schritt 8.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 (8 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 8.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$24 x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{1} + C$

Schritt 8.2.5.4

Dividiere $8 x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$24 x^{\frac{1}{2}} + 8 x^{\frac{3}{2}} + C$