Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ heraus.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ordne Terme um.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sec (t) d t$

Schritt 3

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$