Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Stelle $4$ und $x^{2}$ um.

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 2

Dividiere $x^{2}$ durch $x^{2} + 4$ .

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Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 4$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 7.2

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$