Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.7

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.8

Stelle $1$ und $- 3 x^{- 2}$ um.

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Schritt 3.9

Bewege $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Schritt 5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Schritt 9.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$