Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über Quadratwurzel von x^2+4 nach x
Schritt 1
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 2
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 2.1.1.2
Potenziere mit .
Schritt 2.1.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.3
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 2.1.4
Schreibe als um.
Schritt 2.1.5
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 2.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.2
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 2.2.2.1
Bewege .
Schritt 2.2.2.2
Mutltipliziere mit .
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Schritt 2.2.2.2.1
Potenziere mit .
Schritt 2.2.2.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.2.2.3
Addiere und .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 6
Potenziere mit .
Schritt 7
Potenziere mit .
Schritt 8
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 9
Vereinfache den Ausdruck.
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Schritt 9.1
Addiere und .
Schritt 9.2
Stelle und um.
Schritt 10
Schreibe in um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.
Schritt 11
Vereinfache durch Ausmultiplizieren.
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Schritt 11.1
Schreibe die Potenz um als ein Produkt.
Schritt 11.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 11.3
Stelle und um.
Schritt 12
Potenziere mit .
Schritt 13
Potenziere mit .
Schritt 14
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 15
Addiere und .
Schritt 16
Potenziere mit .
Schritt 17
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 18
Addiere und .
Schritt 19
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 20
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 21
Das Integral von nach ist .
Schritt 22
Vereinfache durch Ausmultiplizieren.
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Schritt 22.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 22.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 23
Wenn nach aufgelöst wird, erhalten wir = .
Schritt 24
Mutltipliziere mit .
Schritt 25
Vereinfache.
Schritt 26
Vereinfache.
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Schritt 26.1
Kombiniere und .
Schritt 26.2
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
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Schritt 26.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.2.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 26.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 26.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 26.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 26.2.2.4
Dividiere durch .
Schritt 27
Ersetze alle durch .
Schritt 28
Vereinfache.
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Schritt 28.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 28.1.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 28.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 28.1.3
Potenziere mit .
Schritt 28.1.4
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.1.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.1.6
Schreibe als um.
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Schritt 28.1.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 28.1.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 28.1.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 28.1.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 28.1.8
Kombiniere und .
Schritt 28.1.9
Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.
Schritt 28.1.10
Kombinieren.
Schritt 28.1.11
Mutltipliziere mit .
Schritt 28.1.12
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 28.1.12.1
Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten , und dem Ursprung. Dann ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch verläuft. Folglich ist .
Schritt 28.1.12.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 28.1.12.3
Potenziere mit .
Schritt 28.1.12.4
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.1.12.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.1.12.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.1.12.6.1
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 28.1.12.6.2
Faktorisiere die perfekte Potenz aus heraus.
Schritt 28.1.12.6.3
Ordne den Bruch um.
Schritt 28.1.12.7
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 28.1.12.8
Kombiniere und .
Schritt 28.1.12.9
Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.
Schritt 28.1.13
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.1.14
Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.
Schritt 28.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 28.3
Kombiniere und .
Schritt 28.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 28.5
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 28.6
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 28.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 28.6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 28.6.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 29
Stelle die Terme um.