Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{3}$ .

$\frac{2}{9} {(1 + x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$