Analysis Beispiele

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Schritt 1

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 2.2.1.4

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.2.1.5

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe ${\sec (t)}^{2 + 2}$ als $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ um.

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 3

Schreibe $\sec^{2} (t)$ in $1 + \tan^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 4

Sei $u = \tan (t)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (t) d t$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \tan (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan (t)$ nach $t$ ist $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Schritt 5

Multipliziere $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Schritt 6.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Schritt 6.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Schritt 7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u$ durch $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$