Analysis Beispiele

$\int \frac{x + 3}{x^{2} + 6 x + 7} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{2} + 6 x + 7$ . Dann ist $d u = (2 x + 6) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (x + 3) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{2} + 6 x + 7$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2} + 6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 7]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$2 x + 6$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6 x + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 6 x + 7 |) + C$