Analysis Beispiele

$\int x e^{- 5 x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- 5 x}$ .

$x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{5}$ .

$x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Schritt 4

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Schritt 5

Sei $u = - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Schreibe $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ als $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ um.

$- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 11.2

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{x}{5}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Schritt 13

Kombiniere $e^{- 5 x}$ und $\frac{1}{25}$ .

$- \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$