Analysis Beispiele

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 + 4 x^{3}$ . Dann ist $d u = 12 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Es sei $u = 5 + 4 x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + 4 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt[4]{u}$ und $\frac{1}{12}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $2$ .

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{u}$ als $u^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe $\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ als $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $30$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$