Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{- 2} 2 x {(6 - x^{2})}^{3} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 3}^{- 2} x {(6 - x^{2})}^{3} d x$

Schritt 2

Sei $u = 6 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 6 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 6 - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 6 - {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 9$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$u_{lower} = 6 - 9$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $9$ von $6$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 6 - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 6 - {(- 2)}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 6 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$u_{upper} = 6 - 4$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{- 3}^{2} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{- 3}^{2} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{- 3}^{2} - \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int_{- 3}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int_{- 3}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int_{- 3}^{2} u^{3} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 3}^{2})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 3}^{2})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $2$ und $- 3$ .

$- ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- (\frac{16}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{4}{1} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- (4 - \frac{{(- 3)}^{4}}{4})$

Schritt 10.2.3

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$- (4 - \frac{81}{4})$

Schritt 10.2.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4})$

Schritt 10.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4})$

Schritt 10.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 \cdot 4 - 81}{4}$

Schritt 10.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16 - 81}{4}$

Schritt 10.2.7.2

Subtrahiere $81$ von $16$ .

$- \frac{- 65}{4}$

Schritt 10.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{65}{4}$

Schritt 10.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{65}{4})$

Schritt 10.2.10

Mutltipliziere $\frac{65}{4}$ mit $1$ .

$\frac{65}{4}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{65}{4}$

Dezimalform:

$16.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$16 \frac{1}{4}$

Schritt 12