Analysis Beispiele

$\int x \arctan (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\arctan (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \arctan (u_{1})$ und $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $u_{1}$ und $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Schritt 6

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${u_{1}}^{2} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 6.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$2 u_{1} + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $2 u_{1}$ und $0$ .

$2 u_{1}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 11

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 11.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Schritt 11.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 11.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

Schritt 12.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\ln (| x^{4} + 1 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 12.2

Um $\arctan (x^{2}) x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 12.3

Kombiniere $\arctan (x^{2}) x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Schritt 12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 12.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Schritt 12.6

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

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Schritt 12.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 12.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Schritt 12.7

Stelle die Faktoren in $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ um.

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$