Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über xarcsin(x) nach x
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Vereinfache.
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Schritt 2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2
Kombiniere und .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Kombiniere und .
Schritt 5
Sei , mit . Dann ist . Beachte, dass wegen , positiv ist.
Schritt 6
Vereinfache Terme.
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Schritt 6.1
Vereinfache .
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Schritt 6.1.1
Wende den trigonometrischen Pythagoras an.
Schritt 6.1.2
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.
Schritt 6.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 7
Benutze die Halbwinkelformel, um als neu zu schreiben.
Schritt 8
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 9
Vereinfache.
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Schritt 9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 11
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 12
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 13
Sei . Dann ist , folglich . Forme um unter Verwendung von und .
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Schritt 13.1
Es sei . Ermittle .
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Schritt 13.1.1
Differenziere .
Schritt 13.1.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 13.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 13.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 14
Kombiniere und .
Schritt 15
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 16
Das Integral von nach ist .
Schritt 17
Vereinfache.
Schritt 18
Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.
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Schritt 18.1
Ersetze alle durch .
Schritt 18.2
Ersetze alle durch .
Schritt 18.3
Ersetze alle durch .
Schritt 19
Vereinfache.
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Schritt 19.1
Kombiniere und .
Schritt 19.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 19.3
Kombiniere und .
Schritt 19.4
Multipliziere .
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Schritt 19.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 19.5
Kombiniere und .
Schritt 19.6
Kombiniere und .
Schritt 20
Vereinfache.
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Schritt 20.1
Stelle die Faktoren in um.
Schritt 20.2
Stelle die Terme um.