Analysis Beispiele

$\int x {(x - 1)}^{5} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u + 1) u^{5} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(u + 1) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 1 u^{5} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $u$ mit $u^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{5}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 1 u^{5} d u$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 5} + 1 u^{5} d u$

Schritt 3.1.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\int u^{6} + 1 u^{5} d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $u^{5}$ mit $1$ .

$\int u^{6} + u^{5} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{6} d u + \int u^{5} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int u^{5} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{1}{6} {(x - 1)}^{6} + C$