Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{10 x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Schritt 1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int_{0}^{\sqrt{11}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 25}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{2} + 25$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{2} + 25$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [25]$

Schritt 2.1.4

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 25$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 25$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 25$

Schritt 2.3.2

Addiere $0$ und $25$ .

$u_{lower} = 25$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 25$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt{11}}^{2} + 25$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(11^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25$

Schritt 2.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25$

Schritt 2.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Schritt 2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 11^{\frac{2}{2}} + 25$

Schritt 2.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 11^{1} + 25$

Schritt 2.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 11 + 25$

Schritt 2.5.2

Addiere $11$ und $25$ .

$u_{upper} = 36$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 36$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$10 \int_{25}^{36} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$10 (\frac{1}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $10$ .

$\frac{10}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{1} \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.1.2.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int_{25}^{36} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 5.2.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$5 \int_{25}^{36} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$5 \int_{25}^{36} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 \int_{25}^{36} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{25}^{36})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $2 u^{\frac{1}{2}}$ bei $36$ und $25$ .

$5 ((2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$5 (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (2 \cdot 6^{1} - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.4

Berechne den Exponenten.

$5 (2 \cdot 6 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$5 (12 - 2 \cdot 25^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$5 (12 - 2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})})$

Schritt 7.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (12 - 2 \cdot 5^{1})$

Schritt 7.2.9

Berechne den Exponenten.

$5 (12 - 2 \cdot 5)$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$5 (12 - 10)$

Schritt 7.2.11

Subtrahiere $10$ von $12$ .

$5 \cdot 2$

Schritt 7.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$10$

Schritt 8