Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x^{12}$ . Dann ist $d u = 12 x^{11} d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x^{12}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{12}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{12}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x^{12}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{11}$ und $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{11}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{12} u^{12}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4096$ und $12$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4096$ heraus.

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Schritt 5.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Schritt 5.2.6

Um $\frac{1024}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Schritt 5.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{1024}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Schritt 5.2.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Schritt 5.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.9.1

Mutltipliziere $1024$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Schritt 5.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4095$ und $12$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $4095$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Schritt 5.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1365$ und $48$ .

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Schritt 5.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $1365$ heraus.

$\frac{3 (455)}{48}$

Schritt 5.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $48$ heraus.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Schritt 5.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Schritt 5.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{455}{16}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{455}{16}$

Dezimalform:

$28.4375$

Darstellung als gemischte Zahl:

$28 \frac{7}{16}$

Schritt 7