Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} (3 - t) \sqrt{t} d t$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{3} (3 - t) t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2

Multipliziere $(3 - t) t^{\frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t \cdot t^{\frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t \cdot t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) d t$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{1 + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{2 + 1}{2}} d t$

Schritt 2.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} 3 t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{3} t^{\frac{1}{2}} d t + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} t^{\frac{3}{2}} d t$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{3}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}]_{0}^{3})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $t^{\frac{5}{2}}$ .

$3 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $3$ und $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}]_{0}^{3})$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ bei $3$ und $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Bringe $3^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2

Multipliziere $3^{\frac{3}{2}}$ mit $3^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.3.2.1

Bewege $3^{- 1}$ .

$3 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.2.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.8.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.10

Addiere $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$3 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.12

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5})$

Schritt 9.2.3.13

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 9.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5})$

Schritt 9.2.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0^{5}}{5})$

Schritt 9.2.3.15

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 0}{5})$

Schritt 9.2.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 9.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 9.2.3.17.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 9.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.17.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 9.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 9.2.3.17.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} - 0)$

Schritt 9.2.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - (\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5} + 0)$

Schritt 9.2.3.19

Addiere $\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$ und $0$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 9.2.3.20

Um $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 9.2.3.21

Kombiniere $6 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 9.2.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 5 - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 9.2.3.23

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{30 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{5}$

Dezimalform:

$4.15692193 \dots$

Schritt 11