Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 1.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{4} t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{4} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne $2 t^{\frac{1}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 - 2 \cdot 1$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$4 - 2$

Schritt 3.2.8

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$2$

Schritt 4