Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{4} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 2.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{lower} = 1^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{\frac{1}{2}}$ ein.

$u_{upper} = 4^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u_{upper} = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 2^{1}$

Schritt 2.5.4

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{2} 2 e^{u} d u$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} e^{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (e^{u}]_{1}^{2})$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $e^{u}$ bei $2$ und $1$ .

$2 ((e^{2}) - e^{1})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$2 (e^{2} - e)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 e^{2} + 2 (- e)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{2} - 2 e$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 e^{2} - 2 e$

Dezimalform:

$9.34154854 \dots$

Schritt 8