Analysis Beispiele

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} - 5 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{2}^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{2}^{3} x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{2}^{3} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - 5 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} + - 5 x]_{2}^{3}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3}$ und $- 5 x]_{2}^{3}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x]_{2}^{3}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $2 x^{\frac{1}{2}} - 5 x$ bei $3$ und $2$ .

$(2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 3) - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.2

Multipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{1 + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{2 + 1}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 5 \cdot 2)$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - (2^{\frac{3}{2}} - 10)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} - - 10$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 15 - 2^{\frac{3}{2}} + 10$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 15$ und $10$ .

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 5 - 2^{\frac{3}{2}}$

Dezimalform:

$- 4.36432550 \dots$

Schritt 7