Analysis Beispiele

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{2} + 9$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{2} + 9$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$8 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x^{2} + 9$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Schritt 1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $9$ .

$u_{lower} = 13$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x^{2} + 9$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Schritt 1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Schritt 1.5.2

Addiere $196$ und $9$ .

$u_{upper} = 205$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $205$ und $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $13^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Schritt 6.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.2

Kombinieren.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Schritt 7.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.3

Mutltipliziere $205^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 7.6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Dezimalform:

$240.69009594 \dots$

Schritt 9