Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{7} 2^{i - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{i + 1 - 1}$ und $2^{i - 1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $2^{i - 1}$ aus $2^{i + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere $2^{i + 0 - (i - 1)}$ durch $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Schritt 2.2.2

Addiere $i$ und $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Schritt 2.2.4

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Schritt 2.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$r = 2^{1}$

Schritt 2.2.6

Berechne den Exponenten.

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in $2^{i - 1}$ ein.

$a = 2^{1 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 2^{0}$

Schritt 3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 1$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$1 \frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$ mit $1$ .

$\frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$\frac{1 - 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $128$ von $1$ .

$\frac{- 127}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 127}{1 - 2}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 127}{- 1}$

Schritt 5.4

Dividiere $- 127$ durch $- 1$ .

$127$