Analysis Beispiele

$e^{x}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = e^{x + h}$

Schritt 2.1.2

Die endgültige Lösung ist $e^{x + h}$ .

$e^{x + h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

Schritt 4

Multipliziere $- 1$ mit $e^{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $e^{x}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{x + 0} - e^{x}$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.3.2

Subtrahiere $e^{x}$ von $e^{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x + h} - e^{x}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

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Schritt 5.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = e^{h}$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $e^{x + h}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.4

Da $- e^{x}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- e^{x}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $e^{x + h}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

Schritt 5.4

Dividiere $e^{x + h}$ durch $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$e^{x + 0}$

Schritt 8

Addiere $x$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 9