Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Differenziere.
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
Schritt 1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3
Berechne .
Schritt 1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Schritt 2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 2.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 2.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.5
Vereinfache .
Schritt 2.5.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Schritt 2.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.4.5
Addiere und .
Schritt 2.5.4.6
Schreibe als um.
Schritt 2.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 2.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Schritt 3.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Schritt 3.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Schritt 3.1.2.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.1.2.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.1.2.1.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.1.2.1.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.1.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.6
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.1.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.1.2.1.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.1.2.1.6.3
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.2.1.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.1.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.1.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.1.2.1.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.9
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.3
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 3.1.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 3.3
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Schritt 3.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 3.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.3.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 3.3.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 3.3.2.1.4.1
Schreibe als um.
Schritt 3.3.2.1.4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.1.4.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.1.4.1.3
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.4.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.3.2.1.4.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.3.2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.3.2.1.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 3.3.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.1.10
Schreibe als um.
Schritt 3.3.2.1.10.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.1.10.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.1.10.3
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.10.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.3.2.1.10.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.10.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.10.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.3.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.3.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.3.2.1.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.13
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.14
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.3.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.3.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.3
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.3.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.3.2.4
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.3.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Schritt 3.3.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.3.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.4
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 3.5
Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.
Schritt 4
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 6.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 7.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Schritt 9