Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte f(x)=x^4-2x^2+3
Schritt 1
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.3.2
Addiere und .
Schritt 1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 2.5
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.1
Schreibe als um.
Schritt 2.5.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 2.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.5.4.2
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.3
Potenziere mit .
Schritt 2.5.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.5.4.5
Addiere und .
Schritt 2.5.4.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 2.5.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 2.5.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 2.5.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.5.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.5.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.5.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 2.6
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.6.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 2.6.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 2.6.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.2.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.2.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.1.2.1.2.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.1.2.1.2.1.3
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.2.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.1.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.5
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.1.2.1.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.1.2.1.6.3
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.1.2.1.7
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.8
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.8.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.8.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.8.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.8.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.8.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.9
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.10
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.3
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.1.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 3.3
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.1.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.4.1
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.4.1.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.1.4.1.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.1.4.1.3
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.4.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.4.1.4.2.4
Dividiere durch .
Schritt 3.3.2.1.4.2
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.5
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.6.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.6.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.6.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.3.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.1.10
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.10.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.3.2.1.10.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.3.2.1.10.3
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.10.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.10.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.10.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.10.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.3.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 3.3.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3.2.1.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.3.2.1.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.3.2.1.13
Kombiniere und .
Schritt 3.3.2.1.14
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.3.2.2
Ermittle den gemeinsamen Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.3
Schreibe als einen Bruch mit dem Nenner .
Schritt 3.3.2.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.3.2.4
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.2.5
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.5.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.3.2.5.2
Addiere und .
Schritt 3.3.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.4
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 3.5
Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.
Schritt 4
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 5.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 8
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Schritt 9