Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte f(x)=x^3-3x
Schritt 1
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.3.2
Addiere und .
Schritt 1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 3
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 3.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt .
Schritt 8