Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ , $0 < x < 2.5$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 34 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 34 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $- 34$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 34 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 34 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 34 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} - 34 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 34$ .

$12 x^{2} - 68 x + \frac{d}{d x} [60 x]$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 \cdot 1$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 68 x + 60$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 68 x + 60$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 68 x + 60 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2} - 68 x + 60$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$4 (3 x^{2}) - 68 x + 60 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 68 x$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 60 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x) + 4 (15) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2}) + 4 (- 17 x)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15) = 0$

Schritt 1.2.2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2} - 17 x) + 4 (15)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 17 x + 15) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x^{2} - 17 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 17 x + 15$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = \frac{0}{4}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$3 x^{2} - 17 x + 15 = 0$

Schritt 1.2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 17$ und $c = 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 15)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $180$ von $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.7.1.3

Subtrahiere $180$ von $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.8.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 15$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 12 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $15$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 180}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.8.1.3

Subtrahiere $180$ von $289$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.2.8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ .

$4 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ an.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $216$ heraus.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.5.1

Potenziere $17$ mit $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.2

Potenziere $17$ mit $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $289$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.6

Mutltipliziere $51$ mit $109$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.7

Schreibe ${\sqrt{109}}^{3}$ als $\sqrt{109^{3}}$ um.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.8

Potenziere $109$ mit $3$ .

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.9

Schreibe $1295029$ als $109^{2} \cdot 109$ um.

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Schritt 1.4.1.2.1.5.9.1

Faktorisiere $11881$ aus $1295029$ heraus.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.9.2

Schreibe $11881$ als $109^{2}$ um.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.5.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4913 + 867 \sqrt{109} + 5559 + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.6

Addiere $4913$ und $5559$ .

$\frac{10472 + 867 \sqrt{109} + 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.7

Addiere $867 \sqrt{109}$ und $109 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10472 + 976 \sqrt{109}$ und $54$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $10472$ heraus.

$\frac{2 (5236) + 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $976 \sqrt{109}$ heraus.

$\frac{2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5236) + 2 (488 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5236 + 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 + \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.10

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.12

Kombiniere $- 17$ und $\frac{{(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 + \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.13

Schreibe ${(17 + \sqrt{109})}^{2}$ als $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.14

Multipliziere $(17 + \sqrt{109}) (17 + \sqrt{109})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 + \sqrt{109}) + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} (17 + \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.1.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $17$ mit $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \cdot 17 + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.1.2

Bringe $17$ auf die linke Seite von $\sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \cdot \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109 \cdot 109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.1.4

Mutltipliziere $109$ mit $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{11881})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.1.5

Schreibe $11881$ als $109^{2}$ um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + \sqrt{109^{2}})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.2

Addiere $289$ und $109$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 17 \sqrt{109} + 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.15.3

Addiere $17 \sqrt{109}$ und $17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 + 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $398 + 34 \sqrt{109}$ und $18$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.16.1

Faktorisiere $2$ aus $- 17 (398 + 34 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.1.2.1.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 + 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 + \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.1.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.18.1

Faktorisiere $6$ aus $60$ heraus.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.4.1.2.1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.4.1.2.1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 + \sqrt{109})$

Schritt 1.4.1.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.1.20

Mutltipliziere $10$ mit $17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.2

Um $- \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{17 (199 + 17 \sqrt{109})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 17 (199 + 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Mutltipliziere $- 17$ mit $199$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Mutltipliziere $17$ mit $- 17$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.5

Mutltipliziere $- 3383$ mit $3$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 289$ .

$\frac{5236 + 488 \sqrt{109} - 10149 - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.7

Subtrahiere $10149$ von $5236$ .

$\frac{- 4913 + 488 \sqrt{109} - 867 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.5.8

Subtrahiere $867 \sqrt{109}$ von $488 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.6

Um $170$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.7

Kombiniere $170$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $170$ mit $27$ .

$\frac{- 4913 - 379 \sqrt{109} + 4590}{27} + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.8.3

Addiere $- 4913$ und $4590$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.1.2.9

Um $10 \sqrt{109}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1.2.10.1

Kombiniere $10 \sqrt{109}$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.1.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $10$ .

$\frac{- 323 - 379 \sqrt{109} + 270 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.1.2.11.2

Addiere $- 379 \sqrt{109}$ und $270 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.1.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.1.2.12.1

Schreibe $- 323$ als $- 1 (323)$ um.

$\frac{- 1 (323) - 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.1.2.12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 109 \sqrt{109}$ heraus.

$\frac{- 1 (323) - (109 \sqrt{109})}{27}$

Schritt 1.4.1.2.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (323) - (109 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{- 1 (323 + 109 \sqrt{109})}{27}$

Schritt 1.4.1.2.12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ .

$4 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{3} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ an.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{6^{3}} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{216} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $216$ heraus.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 (54)} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{4 \cdot 54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{17^{3} + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.5.1

Potenziere $17$ mit $3$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 17^{2} (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.2

Potenziere $17$ mit $2$ .

$\frac{4913 + 3 \cdot 289 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $289$ .

$\frac{4913 + 867 (- \sqrt{109}) + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $867$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 3 \cdot 17 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $17$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(- \sqrt{109})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{109}$ an.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 (1 {\sqrt{109}}^{2}) + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.8

Mutltipliziere ${\sqrt{109}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {\sqrt{109}}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.5.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 {(109^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109^{1} + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.9.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 51 \cdot 109 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.10

Mutltipliziere $51$ mit $109$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- \sqrt{109})}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{109}$ an.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - {\sqrt{109}}^{3}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.13

Schreibe ${\sqrt{109}}^{3}$ als $\sqrt{109^{3}}$ um.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{3}}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.14

Potenziere $109$ mit $3$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{1295029}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.15

Schreibe $1295029$ als $109^{2} \cdot 109$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1.5.15.1

Faktorisiere $11881$ aus $1295029$ heraus.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{11881 (109)}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.15.2

Schreibe $11881$ als $109^{2}$ um.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - \sqrt{109^{2} \cdot 109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - (109 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.5.17

Mutltipliziere $109$ mit $- 1$ .

$\frac{4913 - 867 \sqrt{109} + 5559 - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Addiere $4913$ und $5559$ .

$\frac{10472 - 867 \sqrt{109} - 109 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.7

Subtrahiere $109 \sqrt{109}$ von $- 867 \sqrt{109}$ .

$\frac{10472 - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10472 - 976 \sqrt{109}$ und $54$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $10472$ heraus.

$\frac{2 (5236) - 976 \sqrt{109}}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 976 \sqrt{109}$ heraus.

$\frac{2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5236) + 2 (- 488 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{54} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1.8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $54$ heraus.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (5236 - 488 \sqrt{109})}{2 \cdot 27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 {(\frac{17 - \sqrt{109}}{6})}^{2} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{6^{2}} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.10

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 34 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 (- 17) \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{36} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + 2 \cdot - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{2 \cdot 18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - 17 \frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.12

Kombiniere $- 17$ und $\frac{{(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 {(17 - \sqrt{109})}^{2}}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.13

Schreibe ${(17 - \sqrt{109})}^{2}$ als $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 ((17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.14

Multipliziere $(17 - \sqrt{109}) (17 - \sqrt{109})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.2.2.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 (17 - \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} (17 - \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (17 \cdot 17 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.2.2.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.15.1.1

Mutltipliziere $17$ mit $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 + 17 (- \sqrt{109}) - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} \cdot 17 - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.3

Mutltipliziere $17$ mit $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} - \sqrt{109} (- \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4

Multipliziere $- \sqrt{109} (- \sqrt{109})$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 1 \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + \sqrt{109} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.3

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.4

Potenziere $\sqrt{109}$ mit $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1} {\sqrt{109}}^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{1 + 1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {\sqrt{109}}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5

Schreibe ${\sqrt{109}}^{2}$ als $109$ um.

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Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{109}$ als $109^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + {(109^{\frac{1}{2}})}^{2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{\frac{2}{2}})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109^{1})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (289 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109} + 109)}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.2

Addiere $289$ und $109$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 17 \sqrt{109} - 17 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.15.3

Subtrahiere $17 \sqrt{109}$ von $- 17 \sqrt{109}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (398 - 34 \sqrt{109})}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $398 - 34 \sqrt{109}$ und $18$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.16.1

Faktorisiere $2$ aus $- 17 (398 - 34 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{18} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.2.1.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 (9)} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{2 (- 17 (199 - 17 \sqrt{109}))}{2 \cdot 9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 60 (\frac{17 - \sqrt{109}}{6})$

Schritt 1.4.2.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.18.1

Faktorisiere $6$ aus $60$ heraus.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 (10) \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.4.2.2.1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 6 \cdot 10 \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$

Schritt 1.4.2.2.1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 (17 - \sqrt{109})$

Schritt 1.4.2.2.1.19

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 10 \cdot 17 + 10 (- \sqrt{109})$

Schritt 1.4.2.2.1.20

Mutltipliziere $10$ mit $17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 + 10 (- \sqrt{109})$

Schritt 1.4.2.2.1.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.2

Um $- \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $27$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{17 (199 - 17 \sqrt{109})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109}}{27} - \frac{17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 17 (199 - 17 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 17 \cdot 199 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.2

Mutltipliziere $- 17$ mit $199$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 - 17 (- 17 \sqrt{109})) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 17$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} + (- 3383 + 289 \sqrt{109}) \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 3383 \cdot 3 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.5

Mutltipliziere $- 3383$ mit $3$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 289 \sqrt{109} \cdot 3}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $289$ .

$\frac{5236 - 488 \sqrt{109} - 10149 + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.7

Subtrahiere $10149$ von $5236$ .

$\frac{- 4913 - 488 \sqrt{109} + 867 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.5.8

Addiere $- 488 \sqrt{109}$ und $867 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.6

Um $170$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + 170 \cdot \frac{27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.7

Kombiniere $170$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.2.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 170 \cdot 27}{27} - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.8.2

Mutltipliziere $170$ mit $27$ .

$\frac{- 4913 + 379 \sqrt{109} + 4590}{27} - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.8.3

Addiere $- 4913$ und $4590$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109}$

Schritt 1.4.2.2.9

Um $- 10 \sqrt{109}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} - 10 \sqrt{109} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 1.4.2.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.2.2.10.1

Kombiniere $- 10 \sqrt{109}$ und $\frac{27}{27}$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109}}{27} + \frac{- 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.2.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 10 \sqrt{109} \cdot 27}{27}$

Schritt 1.4.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.2.11.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 10$ .

$\frac{- 323 + 379 \sqrt{109} - 270 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.2.2.11.2

Subtrahiere $270 \sqrt{109}$ von $379 \sqrt{109}$ .

$\frac{- 323 + 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.2.2.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.4.2.2.12.1

Schreibe $- 323$ als $- 1 (323)$ um.

$\frac{- 1 (323) + 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.2.2.12.2

Faktorisiere $- 1$ aus $109 \sqrt{109}$ heraus.

$\frac{- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})}{27}$

Schritt 1.4.2.2.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (323) - (- 109 \sqrt{109})$ heraus.

$\frac{- 1 (323 - 109 \sqrt{109})}{27}$

Schritt 1.4.2.2.12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27}$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 + 109 \sqrt{109}}{27}), (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Schritt 3

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 3.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6}) \cup (\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$

Schritt 3.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, \frac{17 - \sqrt{109}}{6})$ in die erste Ableitung $12 x^{2} - 68 x + 60$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 68 \cdot 0 + 60$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 68 \cdot 0 + 60$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 68$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 60$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 60$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $0$ und $60$ .

$f' (0) = 60$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $60$ .

$60$

Schritt 3.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, \frac{17 + \sqrt{109}}{6})$ in die erste Ableitung $12 x^{2} - 68 x + 60$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 68 \cdot 3 + 60$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 68 \cdot 3 + 60$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f' (3) = 108 - 68 \cdot 3 + 60$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 68$ mit $3$ .

$f' (3) = 108 - 204 + 60$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $204$ von $108$ .

$f' (3) = - 96 + 60$

Schritt 3.3.2.2.2

Addiere $- 96$ und $60$ .

$f' (3) = - 36$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 36$ .

$- 36$

Schritt 3.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{17 + \sqrt{109}}{6}, \infty)$ in die erste Ableitung $12 x^{2} - 68 x + 60$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 12 {(7)}^{2} - 68 \cdot 7 + 60$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = 12 \cdot 49 - 68 \cdot 7 + 60$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $49$ .

$f' (7) = 588 - 68 \cdot 7 + 60$

Schritt 3.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 68$ mit $7$ .

$f' (7) = 588 - 476 + 60$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.4.2.2.1

Subtrahiere $476$ von $588$ .

$f' (7) = 112 + 60$

Schritt 3.4.2.2.2

Addiere $112$ und $60$ .

$f' (7) = 172$

Schritt 3.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $172$ .

$172$

Schritt 3.5

Da die erste Ableitung um $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3.6

Da die erste Ableitung um $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 3.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x^{3} - 34 x^{2} + 60 x$ .

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{17 - \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{17 + \sqrt{109}}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(\frac{17 - \sqrt{109}}{6}, - \frac{323 - 109 \sqrt{109}}{27})$

Kein absolutes Minimum

Schritt 5