Analysis Beispiele

$x = \tan (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\sec^{2} (y) y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sec^{2} (y) y' = 1$ um.

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (y) y' = 1$ durch $\sec^{2} (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sec^{2} (y) y' = 1$ durch $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (y)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ als ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ um.

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sec (y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (y)}$ zu dividieren.

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $\cos (y)$ mit $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{d y}{d x} = 0$ , löse dann nach $x$ , ausgedrückt mittels $y$ , auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\cos (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\cos (y) = \pm 0$

Schritt 7.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\cos (y) = 0$

Schritt 7.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (0)$

Schritt 7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Schritt 7.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$y = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.7

Ermittele die Periode von $\cos (y)$ .

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Schritt 7.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 7.8

Die Periode der Funktion $\cos (y)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$y = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 7.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$ um.

$\tan (y) = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 8.2

Stelle $\frac{π}{2}$ und $π n$ um.

$\tan (y) = π n + \frac{π}{2}$

Schritt 8.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$y = \arctan (π n + \frac{π}{2})$

Schritt 9

Solve for $x$ when $y$ is $\arctan (π n + \frac{π}{2})$ .

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$\arctan (π n + \frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + π n$

Schritt 9.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$n = - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Ermittle die Punkte an denen $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{2}, \arctan (π n + \frac{π}{2}))$

Schritt 11