Analysis Beispiele

$x^{2} + y^{2} = 2 x$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = 2 x - x^{2}$

Schritt 1.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 x - x^{2}}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{x (2 - x)}$

Schritt 1.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

Schritt 1.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

Schritt 1.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

$y = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (2 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (2 - x)}$

$y = - \sqrt{x (2 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (2 - x)}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 2 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Differenziere.

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Schritt 3.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x + 2 y y'$

Schritt 3.2.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x$

Schritt 3.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x = 2$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = 2 - 2 x$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 2 - 2 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = 2 - 2 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{1}{y} + \frac{- x}{y}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - \frac{x}{y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{1}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{y} = - \frac{1}{y}$

Schritt 4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- x = - 1$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (2 - x)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1) (2 - (1))}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2 - (1)$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - (1)}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{2 - 1}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = \sqrt{1}$

Schritt 5.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (2 - x)}$ at $x = 1$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = - \sqrt{(1) (2 - (1))}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2 - (1)$ mit $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2 - (1)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - \sqrt{2 - 1}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = - \sqrt{1}$

Schritt 6.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 6.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 1, y = - 1$

$y = 1, y = - 1$

Schritt 8