Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte f(x)=e^(1-20x+5x^2)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 1.1.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass gleich ist, wobei =.
Schritt 1.1.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 1.1.2
Differenziere.
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Schritt 1.1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.1.2.3
Addiere und .
Schritt 1.1.2.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.2.7
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 2.3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.3.1
Setze gleich .
Schritt 2.3.2
Löse nach auf.
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Schritt 2.3.2.1
Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.
Schritt 2.3.2.2
Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da nicht definiert ist.
Undefiniert
Schritt 2.3.2.3
Es gibt keine Lösung für
Keine Lösung
Keine Lösung
Keine Lösung
Schritt 2.4
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 2.4.1
Setze gleich .
Schritt 2.4.2
Löse nach auf.
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Schritt 2.4.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.4.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.4.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.4.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.4.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.4.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.4.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.4.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.4.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 2.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.1.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 4.1.2.2.1
Subtrahiere von .
Schritt 4.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.3
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 4.2
Liste all Punkte auf.
Schritt 5