Analysis Beispiele

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{4} + 27 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = - 27$

Schritt 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 27}$

Schritt 1.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{- 27}$

Schritt 1.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{- 27}$

Schritt 1.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{- 27}, - \sqrt[4]{- 27}$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = \sqrt[4]{- 27}, x = - \sqrt[4]{- 27}$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = \sqrt[4]{- 27}, x = - \sqrt[4]{- 27}$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{4} + 27)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1 + 27)$

Schritt 2.2.2

Addiere $1$ und $27$ .

$f (1) = \ln (28)$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (28)$ .

$\ln (28)$

Schritt 2.3

Konvertiere $\ln (28)$ nach Dezimal.

$y = 3.33220451$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln ({(2)}^{4} + 27)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \ln (16 + 27)$

Schritt 3.2.2

Addiere $16$ und $27$ .

$f (2) = \ln (43)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (43)$ .

$\ln (43)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (43)$ nach Dezimal.

$y = 3.76120011$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

Schritt 4.2.2

Addiere $81$ und $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (108)$ nach Dezimal.

$y = 4.68213122$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = \sqrt[4]{- 27}, x = - \sqrt[4]{- 27}$ und den Punkten $(1, 3.33220451), (2, 3.76120011), (3, 4.68213122)$ .

Vertikale Asymptote: $x = \sqrt[4]{- 27}, x = - \sqrt[4]{- 27}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.332 \\ 2 & 3.761 \\ 3 & 4.682 \end{array}$

Schritt 6