Analysis Beispiele

Stelle graphisch dar f(x)=(x^2-8)/(x+3)
Schritt 1
Ermittle, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 2
Betrachte die rationale Funktion , wobei der Grad des Zählers und der Grad des Nenners ist.
1. Wenn , dann ist die x-Achse, , die horizontale Asymptote.
2. Wenn , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade .
3. Wenn , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).
Schritt 3
Ermittle und .
Schritt 4
Da , gibt es keine horizontale Asymptote.
Keine horizontalen Asymptoten
Schritt 5
Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.
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Schritt 5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
++-
Schritt 5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
++-
Schritt 5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
++-
++
Schritt 5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
++-
--
Schritt 5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
++-
--
-
Schritt 5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
++-
--
--
Schritt 5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
++-
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--
Schritt 5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
++-
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--
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Schritt 5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
++-
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--
++
Schritt 5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
++-
--
--
++
+
Schritt 5.11
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 5.12
Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.
Schritt 6
Das ist die Menge aller Asymptoten.
Vertikale Asymptoten:
Keine horizontalen Asymptoten
Schiefe Asymptoten:
Schritt 7