Analysis Beispiele

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{8 t - t^{2}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $t$ im Nenner, was $\sqrt{t^{4}} = t^{2}$ ist.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{8 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t$ und $t^{4}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.2.2.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.3.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{4}$ heraus.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.2.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{\frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t^{3}}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - 1}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{8}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{t}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{0} + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0 + 1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.1.3

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Schritt 6.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Schritt 6.2.2.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$- 1$