Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 4] - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.8

Addiere $3 x^{2} - 6 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - (x^{3} - 3 x^{2} + 4) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.10

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ heraus.

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Schritt 2.10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (3 x^{2} - 6 x)$ heraus.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) x$ heraus.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

Schritt 2.10.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (3 x^{2} - 6 x)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))$ heraus.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x^{4}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 4)}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.3.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 \cdot 4}{x^{3}}$

Schritt 4.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8}{x^{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ .

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $- 6 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} + 0 - 8}{x^{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $3 x^{3} - 2 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{3} - 8}{x^{3}}$

Schritt 4.3.3

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x^{3}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{3}}$

Schritt 4.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{3}}$

Schritt 4.4.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{3}}$