Analysis Beispiele

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Schritt 1.4.2.2

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Schritt 1.4.2.3

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (2 x) - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 7.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 8

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $2 \cos (x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $2 \cos (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 8.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 8.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 8.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 8.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 8.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - \cos (0)$

Schritt 11.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - 1$

Schritt 11.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1$

Schritt 12

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Schritt 13.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Schritt 13.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 13.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Schritt 15.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - \cos (π)$

Schritt 15.1.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 - - \cos (0)$

Schritt 15.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 15.1.6

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 - - 1$

Schritt 15.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 1$

Schritt 15.2

Addiere $2$ und $1$ .

$3$

Schritt 16

$x = π$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

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Schritt 17.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Schritt 17.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 17.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Schritt 17.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Schritt 17.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Schritt 17.2.1.4

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Schritt 17.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 17.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Schritt 17.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (π) = - 1$

Schritt 17.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.2

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 19.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 19.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 19.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 19.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 19.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 19.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 19.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 20

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 21.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 21.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 21.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 21.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 21.2.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 21.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 21.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 21.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 21.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Schritt 21.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Schritt 21.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 23.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.1.1

Multipliziere $2 (\frac{5 π}{3})$ .

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Schritt 23.1.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.3

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 23.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 23.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 23.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Schritt 23.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 23.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 23.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 23.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Schritt 23.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 23.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 24

$x = \frac{5 π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 25

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Schritt 25.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 25.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 25.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 25.2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Schritt 25.2.1.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 25.2.1.9

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 25.2.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 25.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 25.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 25.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Schritt 25.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Schritt 25.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Schritt 25.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Schritt 26

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ ist ein lokales Minimum

$(π, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 27