Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 x^{2} - 5 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 5 x d x$

Schritt 6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$5 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3} x^{3} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 x^{2} - 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$