Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{{(x + h)}^{2} x^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von ${(x + h)}^{2} x^{2}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} - \frac{{(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{x^{2} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - {(x + 0)}^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - {(x + 0)}^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{{(x + 0)}^{2} \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.6.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{x^{2} \cdot 0}$

Schritt 3.1.3.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} - {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - {(x + h)}^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.2

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x + h) (x + h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.3

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x (x + h) + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h (x + h))]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.4.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.3.4.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.4.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.6

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d h} [- (x^{2} + 2 h x + h^{2})]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} + 2 h x + h^{2})$ nach $h$ gleich $- \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.4

Da $2 x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 h x$ nach $h$ gleich $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x \cdot 1 + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.7

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.7.8

Addiere $0$ und $2 x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - (2 x + 2 h)}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.8.2.3

Subtrahiere $- (- 2 x - 2 h)$ von $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 x - 2 h}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} h]}$

Schritt 3.3.9

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) h]}$

Schritt 3.3.10

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x (x + h) + h (x + h)) h]}$

Schritt 3.3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h (x + h)) h]}$

Schritt 3.3.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Schritt 3.3.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h \cdot h) h]}$

Schritt 3.3.11.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + x h + h x + h^{2}) h]}$

Schritt 3.3.11.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 3.3.11.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + h x + h x + h^{2}) h]}$

Schritt 3.3.11.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{\frac{d}{d h} [(x^{2} + 2 h x + h^{2}) h]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ gleich $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ist mit $f (h) = x^{2} + 2 h x + h^{2}$ und $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{(x^{2} + 2 h x + h^{2}) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2}]}$

Schritt 3.3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 h x + h^{2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.16

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.17

Addiere $0$ und $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (\frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.18

Da $2 x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2 h x$ nach $h$ gleich $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.20

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}])}$

Schritt 3.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h (2 x + 2 h)}$

Schritt 3.3.22

Vereinfache.

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Schritt 3.3.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + h \cdot 2 x + h \cdot 2 h}$

Schritt 3.3.22.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.22.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 \cdot h x + h \cdot 2 h}$

Schritt 3.3.22.2.2

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h}$

Schritt 3.3.22.2.3

Potenziere $h$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1} h^{1}}$

Schritt 3.3.22.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.22.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h x + 2 h^{2}}$

Schritt 3.3.22.2.6

Addiere $2 h x$ und $2 h x$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + h^{2} + 4 h x + 2 h^{2}}$

Schritt 3.3.22.2.7

Addiere $h^{2}$ und $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{x^{2} + 3 h^{2} + 4 h x}$

Schritt 3.3.22.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{- 2 h - 2 x}{3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} - 2 h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Schritt 4.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + x^{2} + 4 h x}$

Schritt 4.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $h^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Schritt 4.8

Berechne den Grenzwert von $x^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + lim_{h \to 0} 4 h x}$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $4 x$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 lim_{h \to 0} h - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 \cdot 0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{0 - 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0^{2} + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{3 \cdot 0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 4 x \cdot 0}$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $4 x \cdot 0$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0 x}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2} + 0}$

Schritt 6.2.4

Addiere $0 + x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{0 + x^{2}}$

Schritt 6.2.5

Addiere $0$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{- 2 x}{x^{2}}$

Schritt 6.3

Kombinieren.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{2 + 2}}$

Schritt 6.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1 (- 2 x)}{x^{4}}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 2 x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Schritt 6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}}$