Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (sin(2x))/(sin(3x)), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Multipliziere Zähler und Nenner mit .
Schritt 2
Multipliziere Zähler und Nenner mit .
Schritt 3
Separiere Brüche.
Schritt 4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5
Der Grenzwert von für gegen ist .
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Schritt 5.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 5.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 5.1.2.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 5.1.2.1.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 5.1.2.1.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.2.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 5.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.3.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 5.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 5.1.3.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.1.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.3.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 5.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 5.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 5.3.7
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 5.3.8
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.4
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 5.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 5.4.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.4.1.2
Dividiere durch .
Schritt 5.4.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 5.4.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 5.6
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 5.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.6.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 6
Der Grenzwert von für gegen ist .
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Schritt 6.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 6.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 6.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 6.1.2.1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 6.1.3.1
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 6.1.3.1.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 6.1.3.1.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.1.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.1.3.3
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 6.1.3.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3.3.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 6.1.3.3.3
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.1.3.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 6.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 6.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 6.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 6.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.5
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 6.3.5.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 6.3.5.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 6.3.5.3
Ersetze alle durch .
Schritt 6.3.6
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 6.3.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 6.3.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.3.9
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6.5
Wandle von nach um.
Schritt 6.6
Berechne den Grenzwert.
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Schritt 6.6.1
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.
Schritt 6.6.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 6.7
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.8
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 6.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.8.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 7
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 9
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 10
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Exakte Form:
Dezimalform: