Analysis Beispiele

$lim_{y \to 1} \sec (y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - \tan^{2} (y) - 1)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $1$ annähert.

$\sec (lim_{y \to 1} y \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $y$ sich an $1$ annähert.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot lim_{y \to 1} \sec^{2} (y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (y)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot {(lim_{y \to 1} \sec (y))}^{2} - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} \tan^{2} (y) - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (y)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - {(lim_{y \to 1} \tan (y))}^{2} - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - lim_{y \to 1} 1)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $y$ sich $1$ annähert.

$\sec (lim_{y \to 1} y \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $y$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (lim_{y \to 1} y) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (lim_{y \to 1} y) - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $y$ durch Einsetzen von $1$ für $y$ .

$\sec (1 \cdot \sec^{2} (1) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $1$ aus $1 \cdot \sec^{2} (1)$ heraus.

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) - \tan^{2} (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2

Faktorisiere $1$ aus $- \tan^{2} (1)$ heraus.

$\sec (1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.3

Faktorisiere $1$ aus $1 (\sec^{2} (1)) + 1 (- \tan^{2} (1))$ heraus.

$\sec (1 (\sec^{2} (1) - \tan^{2} (1)) - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.4

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\sec (1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (1 - 1)$

Schritt 10.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\sec (0)$

Schritt 10.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$1$