Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von 1/(x-1)+1/(x^2-3x+2), wenn x gegen 1 geht
Schritt 1
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 1.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.3.3
Stelle die Faktoren von um.
Schritt 1.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.5
Addiere und .
Schritt 1.6
Subtrahiere von .
Schritt 2
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 2.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.2.2
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 2.1.2.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.1.2.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.2.5
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.5.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.2.5.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.2.6
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.6.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.6.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 2.1.2.6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2.6.3
Addiere und .
Schritt 2.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.3.2
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.3.3
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.3.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.3.5
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 2.1.3.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.1.3.7
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 2.1.3.8
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.8.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.8.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.8.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.9
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.9.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.9.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3.9.3
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.9.3.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 2.1.3.9.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.9.4
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3.9.5
Addiere und .
Schritt 2.1.3.9.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3.9.7
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.1.3.10
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 2.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.4
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.5
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.6
Addiere und .
Schritt 2.3.7
Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 2.3.8
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.9
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.10
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.11
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.13
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.14
Addiere und .
Schritt 2.3.15
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.16
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.17
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.3.18
Addiere und .
Schritt 2.3.19
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.20
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.20.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.20.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.20.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.3.20.4
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.3.20.4.1
Potenziere mit .
Schritt 2.3.20.4.2
Potenziere mit .
Schritt 2.3.20.4.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 2.3.20.4.4
Addiere und .
Schritt 2.3.20.4.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.20.4.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.3.20.4.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.20.4.8
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.20.4.9
Addiere und .
Schritt 2.3.20.4.10
Subtrahiere von .
Schritt 2.3.20.4.11
Addiere und .
Schritt 3
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 3.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 3.1.2.1.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.1.2.1.3
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3.1.2.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.2.3
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.3.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.3.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 3.1.3.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.1.3.3
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 3.1.3.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 3.1.3.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 3.1.3.6
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.3.6.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.3.6.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 3.1.3.7
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.3.7.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.3.7.1.1
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.3.7.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.3.7.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.3.7.2
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.3.7.3
Addiere und .
Schritt 3.1.3.7.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.1.3.8
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 3.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 3.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 3.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.3.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.3.5
Addiere und .
Schritt 3.3.6
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 3.3.7
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.7.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.7.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.7.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.8
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.8.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 3.3.8.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3.3.8.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.3.9
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 3.3.10
Addiere und .
Schritt 3.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.4.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.4.2.5
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.2
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 4.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.2
Dividiere durch .