Analysis Beispiele

$y = x^{3}$ , $y = 4 x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{3} = 4 x$

Schritt 1.2

Löse $x^{3} = 4 x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 4 x = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ heraus.

$x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 4 (0)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 2$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$y = 4 (- 2)$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$y = - 8$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = 4 (2)$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = 8$

Schritt 1.6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 2$ und $0$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Schritt 3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Schritt 3.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 3.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Schritt 3.7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.7.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.3

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.4

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.5

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 3.7.2.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.6.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.7

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.7.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Schritt 3.7.2.3.10

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

Schritt 3.7.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.7.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Schritt 3.7.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

Schritt 3.7.2.3.11.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Schritt 3.7.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 - 4 (0 - 2)$

Schritt 3.7.2.3.13

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 4 - 4 \cdot - 2$

Schritt 3.7.2.3.14

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- 4 + 8$

Schritt 3.7.2.3.15

Addiere $- 4$ und $8$ .

$4$

Schritt 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

Schritt 5.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

Schritt 5.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Schritt 5.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Schritt 5.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Schritt 5.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Schritt 5.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Schritt 5.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.9.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Schritt 5.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.9.2.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Schritt 5.9.2.2

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $0$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.9.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 5.9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.9.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.6

Addiere $2$ und $0$ .

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.8

Potenziere $2$ mit $4$ .

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 5.9.2.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.2.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.9.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Schritt 5.9.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

Schritt 5.9.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 5.9.2.3.11.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 5.9.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.9.2.3.11.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.9.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 5.9.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

Schritt 5.9.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 - (4 - 0)$

Schritt 5.9.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 - (4 + 0)$

Schritt 5.9.2.3.13

Addiere $4$ und $0$ .

$8 - 1 \cdot 4$

Schritt 5.9.2.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$8 - 4$

Schritt 5.9.2.3.15

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$4$

Schritt 6

Addiere $4$ und $4$ .

$8$

Schritt 7