Analysis Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - x + \sin (x)}{2 x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{2 x}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{2 x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} - lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} + 0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{2 x}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0^{2} + 0 + \sin (0)}{2 x}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 + 0 + \sin (0)}{2 x}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{2 x}$

Schritt 5.1.3

Addiere $0 + 0$ und $0$ .

$\frac{0 + 0}{2 x}$

Schritt 5.1.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{2 x}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 x}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (0)}{2 (x)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 0}{2 x}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{x}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0$